भारतीयः गणितसम्प्रदायः

भारतदेशे गणितशास्त्रस्य व्युत्पत्तिः प्रथमतया कल्पज्यौतिषादीनां वेदाङ्गशास्त्राणाम् अध्ययनाय अनुष्ठानाय च साधनरूपेण अभवत् । उदाहरणार्थं कल्पसूत्रेषु यज्ञार्थं विविधाकारवतां यज्ञकुण्डानां निर्माणाय निर्देशाः दत्ताः । तेषु सूत्रेषु सुप्रसिद्धं बौधायनशुल्वसूत्रम् एव भारतीयगणितनिबन्धेषु प्राचीनतमम् । एवं वैदिकाध्ययनादारभ्य द्विसहस्रवर्षीयः महान् गणितसम्प्रदायः संवर्धितः अभवत् । अस्मिन् सम्प्रदाये न केवलं शून्यं, दशकगणनपद्धतिः च उपज्ञातौ , अपि तु यूरोप्-देशेषु बहुकालादनन्तरं प्राप्तानि प्रमेयानि अपि उपज्ञातानि ।

भारतीयगणितेतिहासस्य भागचतुष्टयं कर्तुं शक्नुमः । यथा -

(१) वैदिककालः (५०० B.C.E. पर्यन्तम्) - एतद्काले विरचितेषु शुल्वसूत्रेषु Pythagoreas theorem (भुजा-कोटि-कर्ण प्रमेयम्) इति विख्यातस्य प्रमेयस्य प्रस्तावाः सन्ति । द्वयोः वर्गमूलस्य(Square-root) आसन्नमूल्यम् अपि दत्तमस्ति इत्थं -"प्रमाणं तृतीयेन वर्धयेत्तच्च चतुर्थेनात्मचतुस्त्रिंशोनेन । सविशेषः ।" (बौधायनशुल्वसूत्रम् १.६१-६२)(अथ विशेषः (Diagonal) = 2^(1/2) = 1 + 1/3 + 1/(3 x 4) - 1/(3 x 4 x 34) = 1.41412156)वेदाङ्गसूत्रेषु पिङ्गलस्य छन्दस्सूत्रम् अपि गणितप्रबन्धरूपेण प्रसिद्धम् अस्ति । अत्र तु द्विपदप्रमेयं (Binomial Theorem), मेरुप्रस्तारः (Pascal's triangle), गुणसङ्कलितं (Sum of a Geometric Series) इत्यादयः विषयाः चर्चिताः । अपि च शून्यस्य प्रातिपदिक रूपेण प्रयोगं कृत्वा सङ्ख्यानां द्विमयरूपं (Binary Representation) लिखितमस्ति ।

(२) जैनगणितज्ञानां कालः (४०० C.E पर्यन्तम्) - जैनगणितज्ञानां बहवः ग्रन्थाः इदानीं न उपलब्धाः, अतः तेषां साधनाः ग्रन्थानां भाष्येभ्यः एव वयं जानीमः । स्थानाङ्गसूत्रं, तत्वार्थादिगमसूत्रभाष्यम् इत्यादिषु ग्रन्थेषु चर्चिताः विषयाः - विकल्पशास्त्रं (Theory of Permutation-Combination) , वर्गवर्गशास्त्रं(Theory of exponents), बीजगणितं (Algebra) इत्यादयः । अनन्तत्वस्य विषये जैनगणितज्ञानां प्रतिपत्तिः वचनीया अस्ति । ते सर्वाणि अनन्तत्वानि समानानि न अमन्यन्त परन्तु त्रिविध-अनन्तत्वानां विचारम् अकुर्वन् । एतद्रीत्या भिन्नविध-अनन्तत्वानाम् विचारम् आधुनिकगणितज्ञेषु Georg Cantor एव नवदशशताब्द्याम् कृतवान्।

(३) (५०० C.E. - १२०० C.E. पर्यन्तम्)- एतदेव भारतीयगणितशास्त्रस्य "सुवर्णकालः" इति बहूनां गणितैतिहासिकानाम् अभिप्रायः यतः आर्यभटः, भास्करः(I), महावीरः, ब्रह्मगुप्तः, भास्कराचार्यः इत्यादयः सुप्रसिद्धाः गणितनिपुणाः एतद्कालीनाः आसन् । आर्यभटस्य आर्यभटीयं वस्तुतः ज्योतिषशास्त्रग्रन्थम् अस्ति, यस्य गणितपादस्य ३३ श्लोकेषु बहूनि विपुलप्रमेयानि सन्ति । अत्र भुजाज्यायाः(half-chord of an arc or "radius(R)*sine"), कोटिज्यायाः("R*cosine") च लक्ष्यकरणं कृत्वा ज्योत्पत्त्यन्वयाः(Trigonometric relations) बहवः दत्ताः । p सङ्ख्यायाः आसन्नमूल्यम् अपि श्लोकरूपे दत्तमस्ति एवम् -"चतुरधिकं शतमष्टगुणं द्वाषष्ठिस्तथा सहस्राणाम्।अयुतद्वयविष्कम्भस्यासन्नो वृत्तपरिणाहः ॥" (आर्यभटीयम्, गणितपादम् १०)(अथ pi = 62832/20000 = 3.1416) अन्यच्च मूल-वर्ग-घन-सङ्कलितानां (Sum of natural numbers, their squares and cubes) विधयः, द्विवर्णसमीकरणस्य इच्छफलं ( Solution of ax - by = c) प्राप्तुं `कुट्टक' इति विख्यातः क्रमः च दत्ताः । ब्रह्मगुप्तस्य ब्रह्मस्फुटसिद्धान्ते, परिलिखितचतुरश्राणां (Cyclic quadrilateral) निर्माणक्रमाः, वर्गप्रकृतिसमीकरणस्य ("Pell's equation") चर्चाः च सन्ति। एतस्य समीकरणस्य परिशोधनक्रमः तु भास्कराचार्येण(११५० C.E.) वर्णितः `चक्रवाल' क्रमः। यूरोप्-देशेषु एतस्य उपज्ञानं सप्तदशशताब्द्याम् एव अभवत् ! भास्कराचार्यस्य सिद्धान्तशिरोमणौ गोलस्य पृष्ठफलस्य, घनफलस्य (Surface Area, Volume of a Sphere) मूल्ये च दत्ते ।

(४) केरलगणितज्ञानां कालः (१६०० C.E. पर्यन्तम्)- भास्कराचार्यः एव भारतदेशस्य अन्तिममहागणितज्ञः इति पूर्वम् अभिप्रायः आसीत् । पञ्चाशत्वर्षपूर्वमेव केरलप्रदेशे रचितानां गणितप्रबन्धानां शोधनम् आरभत । तदन्तरमेव माधवः, नीलकण्ठः, परमेश्वरः, ज्येष्ठदेवः इत्यादीनां गणितज्ञानां महत्प्रमेयानि प्रकाशितानि अभवन् । उदाहरणार्थं भुजाज्यासङ्कलितं, शरसङ्कलितं (Series for R*sine, R*(1-cosine)) च नीलकण्ठस्य तन्त्रसङ्ग्रहे दत्ते । तथा हि p सङ्ख्यायाः सङ्कलितं माधवः दत्तवान् एवं -``व्यासे वारिधिनिहते रूपहृते व्याससागराभिहते। त्रिशरादिविषमसङ्ख्यामत्तमृणं स्वं पृथक् क्रमात् कुर्यात् ॥"(अथ परिधि(circumference)/व्यास(diameter) = pi = 4[1- 1/3 + 1/5 - 1/7 ...] )

उपरिलिखित-गणितसाधनाः विलोक्य अस्माकं मनसि केचन प्रश्नाः जायन्ते। भारतीय-गणितज्ञाः कान् क्रमान् उपयुज्य एतानि प्रमेयानि प्राप्नुवन् ? प्रमेयाणाम् अवगमनार्थं, प्रमाणरूपेण च उपपत्तीः, समाधानानि वा दत्तवन्तः किम्? एतेषां प्रश्नानाम् उत्तराणि ज्ञातुं गणितप्रबन्धानां स्वरूपावगमनम् आवश्यकं भवति । भारते गणितग्रन्थाः द्विविधाः भवन्ति- (१) मूलग्रन्थाः (२) भाष्यानि च । (भारतदेशे न्यायव्याकरणदर्शनादि-अन्यशास्त्रग्रन्थान् अपि एतद्प्रकारेण विभजनं कर्तुं शक्नुमः एव ।) मूलग्रन्थेषु अनेकानेकप्रमेयाणां सङ्ग्रहः भवति । अपि च लघूत्तराणि समाधानानि, कानिचन उचितानि उदाहरणानि च दीयन्ते । परन्तु प्रमेयाणाम् उपपत्तीनां च विचाराः विस्तरेण न भवन्ति । शुल्वसूत्राणि, छन्दस्सूत्रं, आर्यभटीयं, सिद्धान्तशिरोमणिः, तन्त्रसङ्ग्रहः इत्यादयः प्रसिद्धमूलग्रन्थाः ।

भाष्यग्रन्थेषु प्रमेयाणां विचाराः विस्तरेण भवन्ति । साधारणतया उपपत्तयः अपि लिख्यन्ते । अतः भारतीयगणितशास्त्रे भाष्याणां प्रामुख्यम् तु मूलग्रन्थानां सदृशमेव । तस्मादेव गणितज्ञवराः न केवलं मूलग्रन्थान् निर्मितवन्तः, अपि तु पूर्वजगणितज्ञैः लिखित-प्रबन्धानां, स्वयंरचित मूलग्रन्थानां च भाष्यानि अपि लिखितवन्तः । उदाहरणार्थं, भास्करः(I) नीलकण्ठः च आर्यभटीयभाष्यं लिखितवन्तौ, भास्कराचार्यः स्वयंविरचित सिद्धान्तशिरोमणेः भाष्यं लिखितवान् च । दौर्भाग्यवशात् भाष्यग्रन्थानां अनुवादः अधिकतया न कृतः, अतः गणितेतिहासविद्भिः अपि एते ग्रन्थाः सम्यक् न शोधिताः । प्रायः तस्मादेव भारतीयगणितशास्त्रेषु अधिकतया उपपत्तयः न वर्तन्ते इति अभिप्रायः प्रचलने अस्ति ।

लेखनेऽस्मिन् भारतीयगणितार्णवात् कानिचन मौक्तिकानि एव प्रकटीकृतानि । अस्माकं मध्ये भारतीयगणितप्रमेयाणां विषये यावत् ज्ञानं वर्तते तावत् गणितपद्धतेः विषये नास्ति। एतस्याः स्थितेः निवारणाय भाष्यग्रन्थानां शोधनम् अत्यावश्यकं भवति ।

References:

The crest of the Peacock: Non-European roots of Mathematics, George.G.Joseph, Princeton University Press, 2000.

Contributions to the History of Indian Mathematics, Edited by G.G.Emch et.al., Hindustan Book Agency, 2005.

प्रभा मण्ड्यम्

Caltech